GUIA N° 8 - GRADO SÉPTIMO - RAZONES Y PROPORCIONES

INSTITUCIÓN EDUCATIVA COMERCIAL DE ENVIGADO

GUÍA DE TRABAJO No 8 – RAZONES Y PROPORCIONES

Área:   MATEMÁTICAS      Intensidad: 4 SEMANAS                          Grado: SÉPTIMO        

Período: CUARTO             Año: 2012                                Por: MARÍA IRMA HERNÁNDEZ SÁNCHEZ

ALCANCE DE LA GUÍA

·         LOGRO:  Operaciones y Propiedades de la proporcionalidad, regla de tres

·         TEMÁTICAS.  Razón, proporción, propiedades de la proporción, Proporcionalidad directa e inversa, Regla de tres, Porcentaje e Interés.

                                

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

·         DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN EL AULA

·         TRABAJO DE EQUIPO

·         TRABAJO VIRTUAL (consultas)

·         LABORATORIO                                                                 

·         EVALUACIÓN: escrita, individual, por parejas, oral, etc.                        

DESARROLLO DE LA GUÍA

Para iniciar el trabajo de esta guía es necesario que tengas muy claro el concepto de número entero, número racional fraccionario y racional decimal.

RAZÓN

Una razón es el cociente indicado  entre dos cantidades. Ej.   a   antecedente

                                                                                                                 b   consecuente

Una razón es una FRACCIÓN en la que el numerador y denominador son magnitudes
Ejemplo: una persona recorrió 50 km en 3 horas, entonces la razón es 50km / 3h.

Las razones también se pueden establecer entre la misma magnitud, por ejemplo: la altura de una persona es (1,8m) y la longitud de su sombra es (4m), luego la razón se escribe 1,8m / 4m

PROPIEDADES DE LAS RAZONES

1. Si el antecedente de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.

2. Si el consecuente de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.

3.  Si el antecedente y el consecuente de una razón  se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía.

PROPORCIÓN 

Una proporción es una IGULADAD entre dos razones.

Por ejemplo: A determinada hora del día, la sombra de una persona que mide 1,8m es de 4m y la de un árbol que mide 9m es 20m. Entonces la proporción es: 1,8m /4m = 9m/20m.

Observemos que la igualdad se cumple porque 1,8 x 20 = 4 x 9.

Las proporciones en las que los medios son iguales  se llaman PROPORCIONES CONTINUAS.  Ej.

1  =  2             3  =  6

2      4             6      12

PROPIEDADES DE LA PROPORCIONALIDAD

1. Teorema Fundamental -  En toda proporción se cumple que el producto de medios es igual al producto de extremos.

 Ej.   a    =  c  → a * d =  b * c

        b        d    

3.    Alternar Extremos:  d  =  c                                     b      a 4.   Alternar Medios:  a  =  b                                  c      d 5.   Permutar: c  =  a                       d      b 6.   Invertir: b  =  d                    a       c

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando al comparar las medidas que se corresponden de dichas magnitudes se obtiene una razón contante.  Ej.  La cantidad de artículos y el costo de dichos artículos, son magnitudes directamente proporcionales.  Si el precio de un artículo es de $1.000 entonces, el precio de 7 artículos de $7.000.  Es decir, uno es a 7 como 1.000 es a 7.000  →  1/7 = 1.000/7.000

Para mostrar  la razón entre dos magnitudes directamente proporcionales se elabora una tabla con dos filas.  En la primera fila se colocan las medidas de la primera magnitud, cuyos valores se escogen de manera arbitraria.  En la segunda fila se colocan las medidas de la segunda magnitud, cuyos valores dependen de los valores dados en la primera fila.  Si estos pares los representamos en un plano cartesiano , forman una recta que pasa por el origen. Ej.  La relación entre las magnitudes, galones de gasolina y su precio por galón.

(x) Galones de gasolina	1	3	5	6
(y) Precio por galón	$3.350	$10.050	$16.750	$20.100

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de las medidas que se corresponden de  magnitudes inversamente proporcionales.  Es decir,  si una distancia se recorre en 20 minutos a la velocidad de 30km/hora, la misma distancia se recorre en 10 minutos cuando la velocidad aumenta a 60 km/hora. →

20 X 30 = 10 X 60

La tabla para comparar dos magnitudes inversamente proporcionales se elabora de manera similar a la anterior y su gráfica es una línea curva. Ej.  La relación entre las magnitudes, galones de gasolina y su precio por galón.

(x) Galones de gasolina	1	3	5	6
(y) Precio por galón	$3.350	$10.050	$16.750	$20.100

CÁLCULO DE UN ELEMENTO EN UNA PROPORCIÓN

Para hallar el valor de un término desconocido en una proporción, se presentan tres casos:

1.     Si el término desconocido es un extremo, para hallarlo se divide el producto de los medios entre el extremo conocido.  Ej.  Hallar el valor desconocido.

x  =  15   →  x = 2 * 15  =  5

2       6                 6

2.     Si el término desconocido es un medio, para hallarlo se divide el producto de los extremos entre el medio conocido.

3.     Si en una proporción continua, el término desconocido es un medio, para hallarlo se extrae la raíz cuadrada al producto de los extremos.  Ej.  Hallar el término desconocido.

36  =  x   →  x = ± √36*4  = ±√144 = ± 12

 x      4

ALGUNAS APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD

1.     Regla de tres Simple

Es el procedimiento que permite encontrar un término desconocido en una proporción en la que intervienen dos magnitudes. Si las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales, se llama REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA. Ej. 

El carro de Juan consume 3,5 galones de gasolina en 5 vueltas.  Cuál es el consumo total de gasolina en un circuito de 62 vueltas?

Vueltas	5	62	La proporción es:  5  =  3.5  por lo tanto, x = 62 * 35 = 43,4                                  62      x                                5 R/ Consume 43,4 galones de gasolina
Gasolina-galones	3.5	x

2.     Reparto Proporcional

Es el proceso mediante el cual se reparte una cantidad en forma directa o inversa y proporcional a ciertos números dados.  Ej.  La cantidad de dinero de un premio entre el orden de llegada de los competidores o una herencia de acuerdo con la edad de los herederos.

Reparto Directamente Proporcional: Para solucionar una situación de este tipo, aplicamos la propiedad fundamental a un conjunto de razones equivalentes.  Ej.  Tres obreros recibieron $520.000 al terminar un trabajo.  Si uno de ellos trabajó 15 días, otro 12 y el tercero 5 días.  Cuánto dinero le corresponde a cada uno?  Como vemos, la repartición es directa, a mayor cantidad de días trabajados, mayor cantidad de dinero.  Tomemos las variables x, y, z como el sueldo de cada uno.

X  =  y  =  z    →  x + y + z = 520.000 → x + y + z   =   x  =  y  =  z    →

     15     12     5                                            15+12+5      15    12     5   

    Obrero N°1     520.000   =  x       →  x = 15 * 520.000 = 243.750

                            32           15                       32

    Obrero N°2     520.000    = y    →  y =  12 * 520.000  = 195.000

                           32            12                      32

   Obrero N°3      520.000    = z    →  z   =  12 * 520.000  = 81.250

                            32            5                         32

 

3.     Tanto por Ciento

Son todas aquellas razones en las que el consecuente es 100 y se representa con el signo % que significa POR CADA CIEN.  Ej.  27%, se lee veintisiete por ciento y equivale a la razón 27/100.

Hallar los porcentajes  indicados. 

A) 15% de 2.750   →  15 * 2.750  =   41.250  =  412,50

                                       100             100  

 

B)  0.8% de 120    →  0.8 * 120   =  96  =  0,96

                                     100          100

4.     Interés

Interés simple es la cantidad de dinero que se obtiene como beneficio al invertir dinero o la cantidad de dinero que se debe pagar por pedir prestado dinero.  Los elementos y símbolos que se emplean son: 

C = Capital,  es la cantidad de dinero que se invierte o se presta.

I = Interés,

R =  Rata o tasa de interés, es la cantidad que se cobra por cada $100 prestados o invertidos durante un año y se expresa como un porcentaje

T = Tiempo, es la duración del préstamo o la inversión.

Plantear y resolver los siguientes problemas:

A)    Cuál es el interés producido por $800.000 al 4,5% anual durante dos años?

Sea x el interés producido po $800.000 durante 2 años, si comparamos las magnitudes en una tabla, obtenemos:

Interés	Capital	Tiempo	Como el interés es directamente proporcional al capital y al tiempo, planteamos la siguiente proporción: x  = 800.000 * 2 →   x = 4,5 * 800.000 * 2  = 72.000 4,5      100     1  R/  El interés producido es de $72.000
x	800.000	2
4,5	100	1

B)    Cuál es el capital que posee una persona si dicho capital produce un interés de $180.000 al 12% durante 5 meses?

C	I	Tiempo (meses)	El capital es directamente proporcional al interés e inversamente y al tiempo, entonces planteamos la siguiente proporción:  x   = 180.000 * 5 →   x = 100 * 180.000 * 12  = 3.600.000 100      12        12               12 * 5 R/  El capital de la persona es $3.600.000
x	800.000	5
100	12	12

RECUERDA: Llevar a cada clase las prácticas sugeridas para el desarrollo de esta guía.

  

EVALUACIÓN

Se realiza mediante el seguimiento de tu desempeño en todas y cada una de las actividades orientadas por la docente.

 BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA

Para el desarrollo de esta guía te será de gran utilidad el texto Supermat 7° Ed. Voluntad. (El texto se encuentra disponible en la biblioteca del colegio).