INSTITUCIÓN EDUCATIVA COMERCIAL DE
ENVIGADO
GUÍA DE TRABAJO No 8 – RAZONES Y PROPORCIONES
Área: MATEMÁTICAS Intensidad: 4 SEMANAS
Grado: SÉPTIMO
Período: CUARTO Año: 2012 Por: MARÍA IRMA HERNÁNDEZ SÁNCHEZ
ALCANCE DE LA GUÍA
·
LOGRO: Operaciones y Propiedades de
la proporcionalidad, regla de tres
·
TEMÁTICAS. Razón, proporción, propiedades de la
proporción, Proporcionalidad directa e inversa, Regla de tres, Porcentaje e
Interés.
CRITERIOS
DE EVALUACIÓN
·
DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN EL AULA
·
TRABAJO DE EQUIPO
·
TRABAJO VIRTUAL (consultas)
·
LABORATORIO
·
EVALUACIÓN: escrita, individual, por parejas,
oral, etc.
DESARROLLO
DE LA GUÍA
Para iniciar el trabajo de esta guía es
necesario que tengas muy claro el concepto de número entero, número racional
fraccionario y racional decimal.
RAZÓN
Una
razón es el cociente indicado entre dos cantidades. Ej. a antecedente
b
consecuente
Una razón es una FRACCIÓN en la que el
numerador y denominador son magnitudes
Ejemplo: una persona recorrió 50 km en 3 horas, entonces la razón es 50km / 3h.
Ejemplo: una persona recorrió 50 km en 3 horas, entonces la razón es 50km / 3h.
Las razones también se pueden establecer
entre la misma magnitud, por ejemplo: la altura de una persona es (1,8m) y la
longitud de su sombra es (4m), luego la razón se escribe 1,8m / 4m
PROPIEDADES DE LAS RAZONES
1. Si el antecedente de una razón se multiplica o divide por
un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
2. Si el consecuente de una razón
se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso
y multiplicada en el segundo por ese mismo número.
3. Si el antecedente y el consecuente de una
razón se multiplican o dividen por un
mismo número, la razón no varía.
PROPORCIÓN
Una proporción es una IGULADAD entre dos
razones.
Por ejemplo: A determinada hora del día, la
sombra de una persona que mide 1,8m es de 4m y la de un árbol que mide 9m es
20m. Entonces la proporción es: 1,8m /4m = 9m/20m.
Observemos que la igualdad se cumple porque
1,8 x 20 = 4 x 9.
Las proporciones en las que los medios son
iguales se llaman PROPORCIONES CONTINUAS. Ej.
1 = 2 3 = 6
2 4 6 12
PROPIEDADES DE LA PROPORCIONALIDAD
1. Teorema
Fundamental - En toda proporción se
cumple que el producto de medios es igual al producto de extremos.
Ej. a = c → a * d =
b * c
b
d
|
PROPORCIONALIDAD
DIRECTA
Dos magnitudes son directamente
proporcionales, cuando al comparar las medidas que se corresponden de dichas
magnitudes se obtiene una razón contante.
Ej. La cantidad de artículos y el
costo de dichos artículos, son magnitudes directamente proporcionales. Si el precio de un artículo es de $1.000
entonces, el precio de 7 artículos de $7.000.
Es decir, uno es a 7 como 1.000 es a 7.000 → 1/7
= 1.000/7.000
Para mostrar
la razón entre dos magnitudes directamente proporcionales se elabora una
tabla con dos filas. En la primera fila
se colocan las medidas de la primera magnitud, cuyos valores se escogen de
manera arbitraria. En la segunda fila se
colocan las medidas de la segunda magnitud, cuyos valores dependen de los
valores dados en la primera fila. Si
estos pares los representamos en un plano cartesiano , forman una recta que
pasa por el origen. Ej. La relación
entre las magnitudes, galones de gasolina y su precio por galón.
(x) Galones de gasolina
|
1
|
3
|
5
|
6
|
(y) Precio por galón
|
$3.350
|
$10.050
|
$16.750
|
$20.100
|
PROPORCIONALIDAD
INVERSA
Dos magnitudes son inversamente
proporcionales cuando el producto de las medidas que se corresponden de magnitudes inversamente proporcionales. Es decir,
si una distancia se recorre en 20 minutos a la velocidad de 30km/hora,
la misma distancia se recorre en 10 minutos cuando la velocidad aumenta a 60
km/hora. →
20 X 30 = 10 X 60
La tabla para comparar dos magnitudes
inversamente proporcionales se elabora de manera similar a la anterior y su
gráfica es una línea curva. Ej. La
relación entre las magnitudes, galones de gasolina y su precio por galón.
(x) Galones de gasolina
|
1
|
3
|
5
|
6
|
(y) Precio por galón
|
$3.350
|
$10.050
|
$16.750
|
$20.100
|
CÁLCULO
DE UN ELEMENTO EN UNA PROPORCIÓN
Para hallar el valor de un término
desconocido en una proporción, se presentan tres casos:
1. Si el
término desconocido es un extremo, para hallarlo se divide el producto de los
medios entre el extremo conocido.
Ej. Hallar el valor desconocido.
x = 15
→
x = 2 * 15 = 5
2 6 6
2. Si el
término desconocido es un medio, para hallarlo se divide el producto de los
extremos entre el medio conocido.
3. Si en
una proporción continua, el término desconocido es un medio, para hallarlo se
extrae la raíz cuadrada al producto de los extremos. Ej.
Hallar el término desconocido.
36 = x
→
x = ± √36*4 = ±√144 = ± 12
x 4
ALGUNAS
APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD
1.
Regla
de tres Simple
Es el procedimiento que permite encontrar un
término desconocido en una proporción en la que intervienen dos magnitudes. Si
las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales, se llama REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA. Ej.
El carro de Juan consume 3,5 galones de
gasolina en 5 vueltas. Cuál es el
consumo total de gasolina en un circuito de 62 vueltas?
Vueltas
|
5
|
62
|
La
proporción es: 5 = 3.5 por lo tanto, x = 62 * 35 =
43,4
62 x
5
R/ Consume 43,4
galones de gasolina
|
Gasolina-galones
|
3.5
|
x
|
2.
Reparto
Proporcional
Es el
proceso mediante el cual se reparte una cantidad en forma directa o inversa y
proporcional a ciertos números dados.
Ej. La cantidad de dinero de un
premio entre el orden de llegada de los competidores o una herencia de acuerdo
con la edad de los herederos.
Reparto Directamente Proporcional: Para
solucionar una situación de este tipo, aplicamos la propiedad fundamental a un
conjunto de razones equivalentes. Ej. Tres obreros recibieron $520.000 al terminar
un trabajo. Si uno de ellos trabajó 15
días, otro 12 y el tercero 5 días.
Cuánto dinero le corresponde a cada uno?
Como vemos, la repartición es directa, a mayor cantidad de días
trabajados, mayor cantidad de dinero.
Tomemos las variables x, y, z como el sueldo de cada uno.
X = y = z
→
x + y + z = 520.000 → x + y + z
= x = y = z →
15
12 5
15+12+5 15 12
5
Obrero N°1 520.000 = x
→ x = 15 * 520.000 = 243.750
32
15 32
Obrero N°2 520.000 = y → y
= 12 * 520.000 = 195.000
32 12 32
Obrero N°3
520.000 = z →
z = 12 * 520.000 = 81.250
32 5 32
3.
Tanto
por Ciento
Son
todas aquellas razones en las que el consecuente es 100 y se representa con el
signo % que significa POR CADA CIEN. Ej. 27%,
se lee veintisiete por ciento y equivale a la razón 27/100.
Hallar
los porcentajes indicados.
A) 15% de 2.750 → 15
* 2.750 = 41.250
= 412,50
100 100
B) 0.8% de 120
→ 0.8 * 120 = 96
=
0,96
100 100
4. Interés
Interés
simple es la cantidad de dinero que se obtiene como beneficio al invertir
dinero o la cantidad de dinero que se debe pagar por pedir prestado
dinero. Los elementos y símbolos que se
emplean son:
C = Capital, es la cantidad de dinero que se invierte o se
presta.
I = Interés,
R = Rata o tasa de interés, es la cantidad que se
cobra por cada $100 prestados o invertidos durante un año y se expresa como un
porcentaje
T = Tiempo, es la duración
del préstamo o la inversión.
Plantear
y resolver los siguientes problemas:
A) Cuál
es el interés producido por $800.000 al 4,5% anual durante dos años?
Sea x
el interés producido po $800.000 durante 2 años, si comparamos las magnitudes
en una tabla, obtenemos:
Interés
|
Capital
|
Tiempo
|
Como el interés es
directamente proporcional al capital y al tiempo, planteamos la siguiente
proporción:
x = 800.000 * 2 → x = 4,5 * 800.000 * 2 = 72.000
4,5 100
1
R/ El interés producido es de $72.000
|
x
|
800.000
|
2
|
|
4,5
|
100
|
1
|
B) Cuál
es el capital que posee una persona si dicho capital produce un interés de $180.000
al 12% durante 5 meses?
C
|
I
|
Tiempo (meses)
|
El capital es
directamente proporcional al interés e inversamente y al tiempo, entonces
planteamos la siguiente proporción:
x = 180.000 * 5 → x = 100 * 180.000 * 12 = 3.600.000
100 12
12 12 * 5
R/ El capital de la persona es $3.600.000
|
x
|
800.000
|
5
|
|
100
|
12
|
12
|
RECUERDA:
Llevar a cada clase las prácticas sugeridas para el desarrollo de esta guía.
EVALUACIÓN
Se realiza mediante el seguimiento de tu
desempeño en todas y cada una de las actividades orientadas por la docente.
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA
Para el desarrollo de esta guía te será de
gran utilidad el texto Supermat 7° Ed. Voluntad. (El texto se encuentra
disponible en la biblioteca del colegio).
IRMA PORQE PUSOA ESO TAN TARDE NO JA ENTONCES LOS DE 7-6 QUE HACEMOS?
ResponderEliminarHola, no hay motivo para preocuparse, la guía la empiezo a explicar mañana, pero se la reviso a cada grupo en el último día de clase de la semana (a ustedes el viernes) :)
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